Mpikambana:Jagwar/Telozoro

Ny telozoro dia marolafy ahitana sisiny telo ary zoro telo. Izy io dia anisan'ireo endrika fototra amin'ny rafitsary. Ny telozoro manana zoro A, B sy C dia antsoina .

Amin'ny rafitsary Eoklidianina, rehefa misy teboka telo tsy mifanitsy, dia misy telozoro tokana ary planina tokana (izany hoe velarana eoklidianina). Izany hoe planina iray ihany no misy ilay telozoro ary anaty planina ny telozoro rehetra. Raha ny planina eoklidianina ihany ny rafitsary rehetra dia planina iray ihany no misy ary ao anatiny avokoa ny telozoro rehetra; anefa kosa, amin'ny velarana eoklidianina avo dimension kokoa dia tsy marina intsony izany. Ity lahatsoratra it dia momba ny telozoro amin'ny rafitsary eoklidianina ary indrindra indrindra ny plainna eoklidianina afatsy rehefa misy filazana manohitra izany.

Karazana telozoro

Diagraman'i Euler ny karazana telozoro.

Amin'ny halavan'ny lafiny

Triangles azo sokajiana araka ny halavan'ny lafiny:

Ny equilateral telozoro manana lafiny rehetra mitovy ny halavany. Ny equilateral telozoro ihany koa ny tsy tapaka marolafy amin'ny lafiny rehetra mirefy 60°.^[1]
Iray isosceles telozoro manana lafiny roa mitovy ny halavany.^{[note 1]} Iray isosceles telozoro ihany koa dia manana lafiny roa izany fepetra, izany hoe ny zorony mifanohitra amin'ny lafiny roa mitovy ny lavany; raha ny marina izany dia ny afa-po ny isosceles telozoro theorem, izay fantatra amin'ny Euclid. Ny sasany mathematicians mamaritra ny iray isosceles telozoro ho efa tsara ny roa mitovy andaniny sy ny ankilany, kanefa ny hafa mamaritra ny iray isosceles telozoro ho iray , fara fahakeliny, roa mitovy amin'ny andaniny sy ny ankilany.^[2] Ny farany famaritana mety hahatonga ny rehetra triangles equilateral isosceles triangles. Ny 45-45-90 tsara telozoro, izay hita ao amin'ny tetrakis-kianja tiling, dia isosceles.
Ny scalene telozoro dia rehetra ny lafiny roa samy hafa ny halava.^[3] Equivalently, dia manana lafiny rehetra samy hafa ny fepetra.


Equilateral	Isosceles	Scalene

Foy manamarika, antsoina koa hoe mifidy marika, ampiasaina amin'ny kisary ny triangles sy ny hafa voafaritra tarehimarika mba hamantarana ny andaniny roa ny mitovy halava. Ny lafiny mety ho voamarika amin'ny ny lamina "ticks", fohy-dalana fizarana amin'ny endrika tally manamarika; ny roa tonta mitovy halava raha toa izy ireo dia samy nanamarika ny ohatra izany. Ao ny telozoro, ny toromarika dia matetika tsy mihoatra ny 3 kongona. Ny equilateral telozoro dia mitovy fomba rehetra 3 lafiny iray isosceles telozoro dia mitovy fomba fotsiny ny 2 tonta, sy ny scalene telozoro manana fomba isan-karazany eo amin'ny lafiny rehetra satria tsy misy lafiny roa mitovy. Toy izany koa, lamin ' ny 1, 2, na ho 3 concentric arcs ao amin'ny lafiny ampiasaina mba milaza mitovy fijery. Ny equilateral telozoro dia mitovy fomba rehetra 3 lafiny iray isosceles telozoro dia mitovy endrika amin'ny 2 lafiny, ary ny scalene telozoro manana fomba isan-karazany eo amin'ny lafiny rehetra satria tsy misy lafiny mitovy.

Amin'ny lafiny anatiny

Triangles koa azo sokajiana araka ny lafiny anatiny, dia norefesiny eto amin'ny degre.

Ny telozoro tsara (na zo-zorony telozoro, teo aloha antsoina hoe rectangled triangle) iray amin ' ny atitany lafiny mirefy 90° ( mahitsy zoro). Amin'ny lafiny mifanohitra amin'ny zoro ankavanana no hypotenuse, ny lafiny lava indrindra ny telozoro. Ny hafa ny roa tonta dia antsoina hoe ny tongony na catheti^[4] (teny: cathetus) ny telozoro. Tsara triangles mankatò ny Pythagorean theorem: ny isa ny efamira ny halavan'ny ny tongotra roa dia mitovy amin'ny kianja ny halavan'ny ny hypotenuse: ny² + b² = f²a² + b² = c², izay a sy b dia ny halavan'ny ny tongony sy ny c dia ny halavan'ny ny hypotenuse. Zo manokana triangles marina triangles fanampiny fananana izay manao kajikajy momba azy ireo ho mora kokoa. Ny iray amin'ireo roa malaza indrindra dia ny 3-4-5 tsara telozoro, izay 3² + 4² = 5²3² + 4² = 5². Amin'ny toe-javatra ity, 3, 4, ary 5 dia Pythagorean telo. Ny hafa indray dia iray isosceles telozoro fa efa 2 lafiny tsirairay fepetra 45 degre.
Triangles fa tsy manana zoro iray mirefy 90° no antsoina hoe oblique triangles.
Ny telozoro amin'ny rehetra atitany lafiny mirefy latsaky ny 90° no matsilo telozoro na matsilo-zorony telozoro. Raha c dia ny halavany amin'ny lafiny lava indrindra, dia ny² + b² > f²a² + b² > c², izay a sy b no halava ' ny lafiny hafa.
Ny telozoro amin'ny iray atitany zoro famarana mihoatra noho ny 90° no obtuse telozoro na obtuse-zorony telozoro. Raha c dia ny halavany amin'ny lafiny lava indrindra, dia ny² + b² < c²a² + b² < c², izay a sy b no halava ' ny lafiny hafa.
Ny telozoro amin'ny atitany zoro 180° (sy collinear vertices) dia feno faharatsiana.
Ny zo feno faharatsiana telozoro dia collinear vertices, roa izay coincident.

Ny triangle izay manana lafiny roa amin'ny fatra ihany koa dia manana lafiny roa mitovy ny lavany, ary noho izany dia iray isosceles telozoro. Manaraka ho azy fa ao ny telozoro izay lafiny rehetra manana izany fepetra izany, fa telo tonta mitovy ny lavany, ary toy izany telozoro noho izany equilateral.


Tsara	Obtuse	Matsilo

Oblique

Fototra zava-misy

Ny telozoro, mampiseho ivelany zoro e.

Triangles dia noheverina ho roa-amin'ny lafiny fiaramanidina olo-malaza, raha tsy hoe ireo teny manodidina dia manome raha tsy izany (jereo ny Tsy fisaka triangles, eo ambany). Ao hentitra ny fitsaboana, ny telozoro noho izany dia antsoina hoe ny 2-simplex, (jereo koa Polytope). Fototra zava-misy momba ny triangles nampahafantarin'i Euclid amin'ny boky 1-4 ' ny Singa, manodidina ny 300 BC.

Ny fepetra ny atitany fijery ny telozoro foana manampy hatramin'ny 180 degre (mitovy loko ny hevitra avy izy ireo mitovy).

Ny isan'ny fepetra ny atitany lafiny iray telozoro amin'ny Euclidean toerana dia foana 180 degre.^[5] raha ny marina Izany dia mitovy Euclid ny mirazotra postulate. Izany dia mamela tapa-kevitra ny ohatry ny fahatelo zoro misy telozoro nomena ny ohatry ny lafiny roa. Ny ivelany zoro ny telozoro dia ny zoro izay no linear mpivady (ary noho izany fanampiny) any amin'ny afovoan-zoro. Ny ohatry ny ivelany zoro ny telozoro dia mitovy ny isan'ny fepetra roa atitany lafiny izay dia tsy mifanakaiky aminy; izany no ivelany zoro theorem. Ny isa ny fepetra telo fijery ivelany (ny iray ho an'ny tsirairay vertex) misy telozoro dia 360 degre.^{[note 2]}

Fitoviana sy congruence

Roa triangles dia lazaina fa toy izany koa raha toa ka isaky ny zoro iray telozoro dia mitovy fepetra araka ny mifanaraka amin'ny zoro hafa telozoro. Ny mifanitsy amin'ny lafiny mitovy triangles manana halava izay ao amin ' ny ohatry, ary izany dia fananana ihany koa ampy hampiorina fitoviana.

Ny sasany fototra theorems momba mitovy triangles dia:

Raha tsy iray roa ny anatiny lafiny roa triangles mitovy ny fepetra maha-samy hafa, ary ny roa hafa koa mitovy ny fepetra maha-samy hafa, ny triangles dia toy izany koa.
Raha toa ka afa-tsy raha misy roa mifanaraka amin'ny lafiny roa triangles dia ao amin ' ny ohatry toy ireo hafa, izay atao mifanaraka amin'ny andaniny sy ny ankilany, ary ny tafiditra fijery mitovy fepetra, dia ny triangles dia toy izany koa. ( Tafiditra zoro fa misy lafiny roa ny marolafy dia ny zoro anatiny eo amin'ireo lafiny roa.)
Raha tsy telo tsiroaroa ny mifanitsy amin'ny lafiny roa triangles rehetra ao amin ' ny arakaraka, dia ny triangles dia toy izany koa.^{[note 3]}

Roa triangles izay congruent maintsy mitovy habe sy ny endrika:^{[note 4]} rehetra tsiroaroa ny mifanitsy atitany fijery mitovy eo amin'ny fepetra, sy ny rehetra tsiroaroa ny mifanitsy amin'ny lafiny mitovy ny lavany. (Izany no tanteraka ny enina equalities, fa telo matetika ampy hanaporofoana congruence.)

Ny sasany isam-batan'olona, ilaina sy ampy ny toe-piainana ho an'ny mpivady ny triangles ho congruent dia:

SAS Postulate: Roa tonta ao amin'ny telozoro mitovy ny lavany roa tonta ao amin'ny hafa ny telozoro, ary tafiditra fijery mitovy ny fepetra.
ASA: Roa atitany fijery sy ny tafiditra side ao ny telozoro mitovy ny fepetra sy ny lavany, tsirairay avy, toy ireo ao amin'ny hafa telozoro. ( Tafiditra lafiny iray lomisy ny fijery dia ny lafiny izay no mahazatra azy ireo.)
SSS: ny lafiny Tsirairay ny telozoro dia mitovy ny lavany toy ny mifanitsy amin'ny lafiny hafa telozoro.
AAS: Roa fijery sy ny mifanaraka amin'izany (tsy tafiditra) side ao ny telozoro mitovy ny fepetra sy ny lavany, tsirairay avy, toy ireo ao amin'ny hafa telozoro. (Izany no indraindray dia antsoina hoe AAcorrS ary avy eo dia ahitana ASA etsy ambony.)

Ny sasany isam-batan'olona ampy toe-javatra ireo:

Hypotenuse-Tongotra (HL) Theorem: Ny hypotenuse sy ny tongony ao ny telozoro tsara mitovy ny lavany toy ireo hafa tsara telozoro. Izany dia antsoina koa hoe RHS (tsara-zoro, hypotenuse, side).
Hypotenuse-Zoro Theorem: Ny hypotenuse sy iray matsilo amin'ny zoro iray tsara telozoro mitovy ny lavany sy ny fepetra, ny tsirairay avy, toy ireo ny zo hafa telozoro. Izany fotsiny ny tranga manokana ny AAS theorem.

Ny toe-javatra manan-danja dia:

Side-Side-Zoro (na Zoro-Lafiny-Vokany) toe-javatra: Raha roa tonta sy ny mifanaraka amin'izany tsy tafiditra zoro ny telozoro mitovy ny lavany sy ny fepetra, ny tsirairay avy, toy ireo hafa telozoro, dia izany no tsy ampy hanaporofoana congruence; fa raha ny zoro nomena dia mifanohitra amin'ny intsony lafiny roa tonta, dia ny triangles dia congruent. Ny Hypotenuse-Tongotra Theorem dia tranga manokana ity fepetra. Ny Lafiny-Side-Zoro toe-javatra tsy mitokana antoka fa ny triangles dia congruent satria iray telozoro mety ho obtuse-zorony sy ny hafa matsilo-zorony.

Mampiasa tsara triangles sy ny foto-kevitra momba ny fitoviana, ny trigonometric asa sine sy cosine afaka ny ho faritana. Ireo no asa ny zoro izay nohadihadiana ao ny telozoro.

Tsara triangles

Ny Pythagorean theorem

Ny afovoany ny theorem dia ny Pythagorean theorem, izay milaza na inona na inona marina ny telozoro, ny metatra ny halavan'ny ny hypotenuse mitovy ny isan'ny amin'ny kianja ny halavan'ny ny hafa roa tonta. Raha ny hypotenuse manana ny halavany c, ary ny tongony manana halava a sy b, ary avy eo ny theorem dia milaza fa

Ny miresaka dia marina tokoa: raha ny halavan'ny ny andaniny sy ny ankilany ny telozoro fahafaham-po ny ambony indrindra, dia ny telozoro manana zoro ankavanana lafiny mifanohitra c.

Ny sasany hafa ny zava-misy momba ny zo triangles:

Ny matsilo fijery ny zo telozoro dia mifameno.

Raha ny tongotry ny tsara telozoro mitovy ny lavany, dia ny lafiny mifanohitra ireo tongotra mitovy ny fepetra. Satria ireo lafiny ireo dia mifameno, dia manaraka ho azy ny tsirairay fepetra 45 degre. Ny Pythagorean theorem, ny halavan'ny ny hypotenuse dia ny halavan'ny tongotra in - √2Endrika:Radic.
Ao ny telozoro tsara amin'ny matsilo fijery mirefy 30 ary 60 degre, ny hypotenuse dia avo roa heny ny halavan'ny ny fohy lafiny iray, ary ny intsony side dia mitovy ny halavan'ny ny fohy kokoa ny lafiny fotoana √3Endrika:Radic:

Ho an'ny rehetra, triangles, ny lafiny sy ny lafiny dia mifandraika amin'ny lalàna ny cosines sy ny lalàna ny sines (antsoina koa hoe ny cosine fitsipika sy sine fitsipika).

Fisian'ny telozoro

Fepetra amin'ny sisiny

Ny telozoro ny tsy fitoviana dia milaza fa ny fitambaran'ny ny halavan'ny misy lafiny roa ny telozoro dia tsy maintsy lehibe kokoa noho ny na mitovy ny halavan'ny ny fahatelo side. Fa vola atao mitovy ny halavan'ny ny fahatelo side afa-tsy ny raharaha iray feno faharatsiana telozoro, ny iray amin'ny collinear vertices. Izany dia tsy azo atao ho isan'ny ho latsaky ny halavan'ny ny fahatelo side. Ny telozoro amin'ny telo nomena ny lafiny tsara halavan'ny misy raha tsy ireo lafiny halavan'ny fahafaham-po ny telozoro ny tsy fitoviana.

Fepetra amin'ny zoro

Telo nomena lafiny endrika tsy feno faharatsiana telozoro (ary marina tokoa fa ny infinitude azy) raha toa ka afa-tsy raha toa roa ireo toe-javatra mihazona: (a) isan ' ny lafiny tsara, sy (b) ny lafiny vola mba 180°. Raha feno faharatsiana triangles no navela, ny fijery ny 0° atao.

Fepetra ara-telozoro

Telo tsara lafiny α, β, ary γ, ny tsirairay amin'izy ireo dia tsy mihoatra ny 180°, dia ny fijery ny telozoro raha tsy misy ny toe-javatra manaraka ireto dia mihazona:

^[6]

ny farany ny fitovian-jo ny fampiharana ny afa-tsy raha toa ka tsy misy ny lafiny dia 90° (toy izany koa ny tangent asa ny lanjany foana finite).

Teboka, andalana ary faribolana ampiarahana amin'ny telozoro

Misy an'arivony ny fanorenana hafa izay mahita ny manokana fotoana mifandray amin'ny (ary matetika ny ao anatiny) ny telozoro, mahafa-po ny sasany tsy manam-paharoa ny fananana: jereo ny lahatsoratra Rakipahalalana ny Triangle Foibe ho an'ny hafa izy ireo. Matetika izy ireo dia vita amin'ny alalan'ny fitadiavana telo andalana mifandray amin'ny symmetrical fomba ny telo tonta (na ny vertices) ary avy eo dia manaporofo fa ny telo andalana hihaona amin'ny teboka iray monja izany: fitaovana manan-danja ho an'ny manaporofo ny fisian'ny ireo dia Ceva ny theorem, izay manome ny fepetra ho an'ny famaritana rehefa telo andalana toy izany no concurrent. Toy izany koa, ny andalana mifandray amin'ny telozoro dia matetika vita ny manaporofo fa telo symmetrically naorina hevitra dia collinear: eto Menelaus' theorem dia manome mahasoa fepetra ankapobeny. Ao amin'ity fizarana ity vitsivitsy ny tena matetika tojo fanorenana dia nanazava.

Ny circumcenter no ivon ' ny faribolana mandalo ny telo vertices ny telozoro.

Ny perpendicular bisector ny lafiny iray telozoro dia ny tsipika mahitsy mandalo ny midpoint ny lafiny sy ny maha-perpendicular izany, izany hoe fananganana ny zoro tsara izany. Ny telo perpendicular bisectors hihaona amin'ny teboka iray monja, ny telozoro ny circumcenter, matetika denoted' O; fotoana io no ivon ' ny circumcircle, ny faribolana mandalo telo vertices. Ny savaivony ny faribolana ity, antsoina hoe ny circumdiameter, dia afaka ho hita avy amin'ny lalàna ny sines voalaza etsy ambony. Ny circumcircle ny manodidina dia nantsoina ny circumradius.

Thales' theorem dia midika fa raha ny circumcenter dia miorina eo amin'ny lafiny iray, ny telozoro, dia ny mifanohitra amin'izany zoro dia zo iray. Raha ny circumcenter dia hita ao ny telozoro, dia ny telozoro no matsilo; raha ny circumcenter dia any ivelan'ny ny telozoro, dia ny telozoro dia obtuse.

Ny fihaonan-dalana ao amin'ny altitudes no orthocenter.

Ny haavo ao ny telozoro, dia ny tsipika mahitsy amin'ny alalan'ny vertex sy ny perpendicular (izany hoe fananganana amin'ny zoro ankavanana) amin'ny lafiny mifanohitra. Izany dia mifanohitra amin'ny lafiny iray dia antsoina hoe ny fototra ny toerana sy ny fotoana izay ny toerana intersects ny fototra (na ny fanitarana) dia antsoina hoe ny tongotra ny toerana. Ny halavan'ny ny toerana dia ny elanelana misy eo amin'ny fototra sy ny vertex. Ny telo altitudes intersect ao anatin'ny teboka iray, antsoina hoe ny orthocenter ny telozoro, matetika denoted amin'ny H. Ny orthocenter lainga ao ny telozoro raha tsy ny telozoro no matsilo.

Ny fihaonan-dalana ao amin'ny zoro bisectors no ivon ' ny incircle.

Ny zoro bisector ny telozoro dia ny tsipika mahitsy amin'ny alalan'ny vertex izay tapahiny ny mifanitsy amin'ny zoro amin'ny tapany. Ny telo zoro bisectors intersect amin'ny teboka iray monja, ny incenter, matetika denoted amin'ny alalan'ny aho, ny foibe ny telozoro ny incircle. Ny incircle dia ny faribolana izay lainga ao ny telozoro, ary mikasika rehetra ny telo tonta. Ny tana dia antsoina hoe ny inradius. Misy telo manan-danja hafa faribolana, ny excirclesizy ireo; mandry ivelan'ny telozoro sy ny mikasika ny lafiny iray koa ny fanitarana ny roa hafa. Ny foibe ny tany - ary excircles endrika iray orthocentric rafitra.

Ny fihaonan ' ny medians no centroid.

Fanamarihana

↑ Euclid defines isosceles triangles based on the number of equal sides, i.e. only two equal sides. An alternative approach defines isosceles triangles based on shared properties, i.e. equilateral triangles are a special case of isosceles triangles. wikt:Isosceles triangle
↑ The n external angles of any n-sided convex polygon add up to 360 degrees.
↑ Again, in all cases "mirror images" are also similar.
↑ All pairs of congruent triangles are also similar; but not all pairs of similar triangles are congruent.

Andinin-tsoratra masina

↑ Weisstein, Eric W. "Equilateral Triangle". MathWorld. Endrika:MathWorld
↑ Weisstein, Eric W. "Isosceles Triangle". MathWorld. Endrika:MathWorld
↑ Weisstein, Eric W. "Scalene triangle". MathWorld. Endrika:MathWorld
↑ Zeidler, Eberhard (2004). Oxford Users' Guide to Mathematics. Oxford University Press.
↑ "Euclid's Elements, Book I, Proposition 32".
↑ Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, "Simple trigonometric substitutions with broad results", Mathematical Reflections no 6, 2007.

[2] Euclid defines isosceles triangles based on the number of equal sides, i.e. only two equal sides. An alternative approach defines isosceles triangles based on shared properties, i.e. equilateral triangles are a special case of isosceles triangles. wikt:Isosceles triangle

[7] The n external angles of any n-sided convex polygon add up to 360 degrees.

[8] Again, in all cases "mirror images" are also similar.

[9] All pairs of congruent triangles are also similar; but not all pairs of similar triangles are congruent.

[1] Weisstein, Eric W. "Equilateral Triangle". MathWorld. Endrika:MathWorld

[MWisosceles-3] Weisstein, Eric W. "Isosceles Triangle". MathWorld. Endrika:MathWorld

[4] Weisstein, Eric W. "Scalene triangle". MathWorld. Endrika:MathWorld

[5] Zeidler, Eberhard (2004). Oxford Users' Guide to Mathematics. Oxford University Press.

[6] "Euclid's Elements, Book I, Proposition 32".

[VV-10] Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, "Simple trigonometric substitutions with broad results", Mathematical Reflections no 6, 2007.

[1]

[note 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[note 2]

[note 3]

[note 4]

[6]